糖糖讲动态规划算法，找零钱完全背包问题，LeetCode 322
找零钱问题的数学解答
找零钱问题是一个经典的数学和计算机科学问题，它可以通过不同的算法来解决，包括贪心算法和动态规划。以下是两种算法的解答示例。
贪心算法
概述 贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优（即最有利）的选择，从而希望导致结果是全局最好或最优的算法。对于找零钱问题，我们可以从最大的硬币面值开始，逐步减少到最小的面值，直到达到目标金额。如果当前硬币面值大于目标金额，则减少硬币数量；如果小于或等于目标金额，则增加硬币数量。
示例 假设我们有面值为1元、3元和5元的硬币，我们需要凑齐6元。根据贪心算法，我们应该首先使用面值最大的硬币，即5元硬币，因为这样可以最快地减少硬币数量。所以我们从5元开始，逐步减少到1元，直到达到目标金额。
动态规划
概述 动态规划是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题，并且记录所有子问题的结果，因此动态规划方法所耗时间往往远少于朴素解法。
示例 对于找零钱问题，我们可以使用动态规划来计算从1到目标金额的最小硬币组合数。我们可以定义一个数组dp，其中dp[i]表示达到金额i所需的最小硬币数量。然后，我们可以使用以下递推公式来填充数组：
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dp[i] = min(dp[i - coins[j]]) + 1
其中coins是一个包含所有硬币面值的数组，j遍历所有硬币面值。这个递推公式的意思是从当前金额i中减去一个硬币面值coins[j]，然后加上达到剩余金额i - coins[j]所需的最小硬币数量。
以上就是两种常用的解决找零钱问题的数学方法。需要注意的是，贪心算法并不总是能够得到最优解，但在许多实际情况下它是有效的。而动态规划确保了我们得到的是最优解，但其时间复杂度可能会更高。
深入回答
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| 动态规划算法 | 数学 动态规划是一种解决最优化问题的数学方法，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题，适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题。 |
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相关知识点
- 动态规划在找零问题中的应用：动态规划是一种解决最优化问题的数学方法，它通过将原问题分解为相互重叠的子问题，并存储子问题的解来避免重复计算。在找零钱问题中，动态规划能够帮助我们找出在有限的货币面额中凑齐特定金额所需的最少硬币数量。例如，当我们需要凑齐11元时，动态规划可以告诉我们使用两个5元硬币和一个1元硬币是最优解。这种方法不仅适用于简单的硬币组合问题，还能够在更复杂的货币系统中发挥作用，比如包括不同面额和数量的硬币。
- 贪心算法与动态规划的区别：贪心算法和动态规划都是解决优化问题的算法，但它们的基本策略有所不同。贪心算法总是做出在当前看来是*好的选择，而忽视了未来的选择可能会导致更好的结果。相比之下，动态规划则会考虑一系列的决策，并试图找到全局最优解。在找零钱问题中，虽然贪心算法可以给出有效的解决方案，但在某些情况下，它可能不是最优的。了解这两种算法的区别和适用场景有助于我们在面对复杂问题时选择合适的解决策略。
- 不同国家找零习惯的文化差异：世界各地的找零习惯反映了不同的文化特点和商业惯例。例如，有些地方倾向于使用较少的货币面额来减少交易次数，而其他地方则可能更喜欢使用较多的面额来简化交易过程。这些习惯不仅影响了消费者的支付体验，也对商家的库存管理和现金处理提出了不同的挑战。探索不同国家的找零习惯不仅能增加我们对全球经济多样性的认识，还能启发我们思考如何改进自身的支付系统以提高效率。
- 数学中的组合优化问题：组合优化问题是数学的一个分支，它涉及到在给定的约束条件下寻找最佳的组合方案。在找零钱的问题中，我们可以将其视为一种特殊的组合优化问题——如何在有限的硬币面额中选取最少数量的硬币来凑齐某个特定金额。这类问题不仅在数学上具有挑战性，也在现实生活中有着广泛的应用，如物流配送、任务调度等领域都需要解决类似的优化问题。深入了解组合优化理论和技术可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
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